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이항확률분포

이항 확률 분포 만들기 이항 분포의 구조 이항 분포는 시행 횟수와 성공적인 결과의 확률이 주어졌을 때 특정 수의 성공적인 결과의 확률을 계산하는 데 사용됩니다. 이항이라는 용어의 "bi"는 우리가 관심을 두고 있는 두 가지 가능한 결과, 즉 이벤트가 발생하고 이벤트가 발생하지 않는 것을 말합니다. (결과가 두 개 이상인 경우 분포를 다항 분포라고 합니다.) $$\tag{1} \text{binomial distribution} \sim B(k; n, p)$$ 이항 분포의 예는 다음과 같습니다. 동전 던지기 세 번에서 두 번 앞면이 나오는 경우 복권 100만 장을 사서 적어도 한 번은 당첨되는 경우 20면체 주사위를 10번 굴려 20이 세 번 미만 나오는 경우 이항분포는 3개의 모수들과 연관된다. k: 결과(성공)횟수 n: 총 시행횟수 p: 사건 하나당 확률 문제의 세부 사항 이해 및 추상화 우리는 동전 던지기 3번에서 앞면이 두 번 나올 확률을 계산하는 예를 계속할 것입니다. 가능한 결과의 수가 적기 때문에 연필과 종이만 있으면 관심 있는 결과를 빠르게 알아낼 수 있습니다. $$\tag{2} HHT, HTH, THH$$ 일반화를 시작하기 위해, 우리는 이 문제를 지금 당장 해결할 수 있는 더 작은 조각으로 나누고, 그 조각들을 관리 가능한 방정식으로 축소할 것입니다. 방정식을 구축하면서, 우리는 그것들을 모아 이항 분포에 대한 일반화된 함수를 만들 것입니다. 이항 분포에서 순열 각 결과는 같은 확률을 가진다. 각 결과는 다른 결과의 순열 또는 재정렬일 뿐이다. 즉, 다음의 각 확률은 같다. $$\tag{3}P(H,H,T) = P(H,T,H) = P(T,H,H) = P(outcome) 위 세 경우는 동시에 일어날 수 없습니다. 즉, 독립사건이므로 이 사건들의 곱사건은 다음과 같습니다. $$\tag{4}P(H,H,T) + P(H,T,H) +...

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불확실성의 논리(logic)

불확실성의 logic 전통적인 논리에는 세 가지 중요한 연산자가 있습니다. NOT, AND, OR입니다. 예를 들어, 다음 문장을 생각해 보세요. 비가 내리고 AND 내가 밖으로 나간다면 우산이 필요할 것입니다. 이 문장에는 AND라는 논리 연산자가 하나만 있습니다. 이 연산자 덕분에 비가 내리고 AND 내가 밖으로 나간다는 것이 사실이라면 우산이 필요할 것입니다. 그러나 이러한 유형의 논리적 추론은 사실에 절대적인 참 또는 거짓 값이 있을 때만 잘 작동합니다. 이 장에서는 세 가지 논리 연산자를 확장하여 확률을 처리하는 방법을 설명하여 기존 논리에서 사실에 대해 추론하는 것과 같은 방식으로 불확실한 정보에 대해 추론할 수 있습니다. AND로 결합한 확률 동전1개와 주사위 1개를 시행할 경우 모든 경우는 다음과 같습니다. import numpy as np import pandas as pd from scipy import stats, special import itertools from sympy import * from empiricaldist import Pmf, Cdf import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns sns.set_style("darkgrid") A=[0, 1] B=range(1, 7) case=list(itertools.product(A, B)) case [(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)] 위의 모든 경우에서 동전에서 앞면이나오고 주사위에서 6이 나오는 두 경우는 1번입니다. 그러므로 이 사건의 결합확률은 다음과 같이 계산됩니다. p=Rational(1, len(case)); p $\frac{1}{12}$ 이 두 독립사건의 경우 곱법칙을 적용할 수 있습니다. $$\tag{1} P(A, B)=P(A...

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불확실성 측정

불확실성 측정 원본 확률이란 무엇인가? 확률은 우리가 세상에 대한 것을 얼마나 강하게 믿는지를 측정하는 것입니다. 우리는 확률을 논리의 확장으로 간주할 수 있습니다. 확률은 우리가 논리를 절대적 믿음(참과 거짓)으로 작업할 수 있을 뿐만 아니라 불확실한 값(참과 거짓 사이의 값)으로 작업할 수 있도록 해줍니다. 논리의 중요한 부분은 부정입니다. 우리가 "참이 아니다"라고 말할 때 우리는 거짓을 의미합니다. 마찬가지로, "거짓이 아니다"라고 말하는 것은 참을 의미합니다. 우리는 확률이 같은 방식으로 작동하기를 원하므로 X의 확률과 X의 확률의 부정이 합산되어 1이 되도록 합니다(즉, 값은 X이거나 X가 아닙니다). P(X) + ~P(X) = 1 (1) 이벤트 결과를 세어 확률 계산 확률을 계산하는 가장 일반적인 방법은 이벤트 결과를 세는 것입니다. 중요한 결과 집합이 두 가지 있습니다. 이벤트의 모든 가능한 결과. 동전 던지기의 경우 이는 "앞면" 또는 "뒷면"입니다. 관심 있는 결과의 개수입니다. 앞면이 나오면 이긴다는 것을 의미한다고 결정했다면, 관심 있는 결과는 앞면이 포함된 결과입니다. 확률 이론에서 우리는Ω(대문자 그리스 문자 오메가)를 사용하여 모든 이벤트 집합을 나타냅니다. Ω = {H(앞면), T(뒷면)} (2) 두개의 동전을 던질 때 최소한 1번의 앞면을 얻을 확률? import numpy as np import pandas as pd from scipy import stats, special import itertools from sympy import * from empiricaldist import Pmf, Cdf import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns sns.set_style("darkgrid") Omega=itertools.product((...

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베에지안 사고와 일상적 추론

참고 1 베에지안 사고와 일상적 추론 베이지안 추론은 우리가 어떤 데이터를 관찰한 후 세상에 대한 믿음을 업데이트하는 데 사용하는 공식적인 프로세스입니다. 1.1 이상한 경험에 대한 추론 윌 커트는 UFO 사례를 통해 새로운 데이터가 들어올 때 신념과 그 업데이트에 대한 베이지안적 사고가 매우 자연스럽고 상식적인 절차라는 것을 보여줍니다. 이것은 제가 전에 생각해 보지 못했던 흥미로운 접근 방식인데, 많은 베이지안 도입이 매우 복잡할 뿐만 아니라 우리가 일상 세계에서 사용하지 않는 공식을 개발하기 때문입니다. 베이지안 추론 과정: Observe data Build a hypothesis Update your beliefs based on new data 1.1.1 Observing Data P(창밖의 밝은 빛, 하늘에 접시 모양의 물체)=very low 이 방정식을 이렇게 읽을 수 있습니다. "창밖에서 밝은 빛을 관찰할 확률과 하늘에 접시 모양의 물체를 관찰할 확률은 매우 낮습니다." 확률 이론에서 우리는 여러 사건의 결합된 확률을 살펴볼 때 사건을 구분하기 위해 쉼표를 사용합니다. 1.1.2 사전 신념을 갖고 확률을 조절 P(창밖의 밝은 빛, 하늘에 접시 모양의 물체|지상에서의 경험 )=very low (1.1) 우리는 이 방정식을 "지구에서의 경험을 감안할 때, 하늘에서 밝은 빛과 접시 모양의 물체를 관찰할 확률은 매우 낮다"로 읽을 것입니다. 확률 결과는 조건부 확률이라고 하는데, 한 가지 사건이 발생할 확률을 다른 무언가의 존재에 조건화하고 있기 때문입니다. 사건과 조건에 대한 더 짧은 변수 이름: D: all of our data X: prior belief D=창밖의 밝은 빛, 하늘에 접시 모양의 물체, X=지상에서의 경험이라 하면 식 1.1은 P(D|X)=very low로 나타낼 수 있다. 1.1.3 다중 신념에 대한 조건화 ...

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블랙 숄츠 모델(Black-Scholes model)

블랙 숄츠 모델(Black-Scholes model) 주식이 수익률이 정규분포를 따른다고 가정 현 주가가 100, 한달 후 행사가격이 110인 콜 옵션인 경우 콜옵션의 가치는(만기의 주식가격 - 행사가격, 0 이하일 경우 권리 포기) 10입니다. 정규분포를 가정하므로 110이 될 확률을 계산할 수 있고 그 가격에서 기대값을 계산할 수 있습니다. 연속변수이므로 지점 확률을 계산할 수 없지만 가격간의 간격이 5원이라면 110~115사이에 존재할 확률은 계산할 수 있습니다. 다음은 평균이 100이고 표준편차가 10인 정규분포를 가정합니다. import numpy as np import pandas as pd from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.family'] ='NanumGothic' plt.rcParams['axes.unicode_minus'] =False d=np.sort(stats.norm.rvs(loc=100, scale=10, size=1000, random_state=1)) p=stats.norm.pdf(d, loc=100, scale=10) d2idx=np.where(d>=110)[0] p2=stats.norm.pdf(d[d2idx], loc=100, scale=10) plt.figure(figsize=(4,3)) plt.plot(d, p) plt.fill_between(d[d2idx], p2, color="g", alpha=0.6) plt.xlabel("x") plt.ylabel("prob.") plt.show() 위 그래프의 녹색에 대한 기대값은 다음과 같습니다. 행사가격 110에 대한 기대값은 다음과 같습니다. np.sum((d[d2idx]-100)*p2) 30.895426539137873 10*(stats.norm.cdf(1...

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파생상품: 옵션(option)

옵션(option) 옵션은 특정 자산을 미리 정한 가격으로 매수, 매도 할 수 있는 권리를 의미 특정자산: 주식, 채권, 통화, 주가지수등 콜옵션은 특정자산을 미리 정한 가격으로 매수 할 수 있는 권리 풋옵션은 특정자산을 미리 정한 가격으로 매도 할 수 있는 권리 콜옵션과 풋옵션은 특정 자산 값의 상승과 하락에 따라 손익 여부가 결정 미래의 일정시점 또는 일정 기간 내에 특정 기초자산을 미리 정한 가격에 팔거나 살 수 있는 귄리를 말합니다. 살수있는 권리는 콜(Call)옵션, 팔 수 있는 권리는 풋(Put) 옵션이라 합니다. 선물을 거래 약속을 지킬 의무가 있는 반면 옵션은 거래의 이행 여부를 선택할 수 있는 권리를 가집니다. 따라서 옵션계약의 경우는 계약이행의 선택권을 갖는 계약자가 의무만을 지는 계약 상대방에게 유리한 조건에 상응하는 대가인 옵션프리미엄을 지급하고 계약을 채결합니다. 옵션은 여러 투자 수단을 제공하는데 댜앙하게 활용되고 있습니다. 전통적인 금융상품인 주식, 채권 등과 결합하거나 옵션간의 결합을 통해 다양한 형태의 수익구조를 갖는 투자 수단을 만드는데 활용되고 있습니다. 따라서 투자자들은 각자의 위험에 대한 선호나 향루 가격 변환에 대한 예상 또는 자신의 자금사정이나 투자 목적에 따라 적합한 투자 전략을 다양하게 구사 할 수 있습니다. 선물과 같이 옵션 역시 미래의 가격 변동에 따른 위험을 헤지하는 수단으로 활용됩니다. 그러나 선물거래는 헤지로 거래할 기초자산의 가격을 고정함으로서 위험을 제거하는 반면 옵션 거래는 미래에 가격이 불리한 방향으로 움직이는 것에 대비한 보호 수단이 있어 가격이 유리한 방향으로 움직일 떄는 이익을 취할 수 있게 해줍니다. 선물 시장과 마찬가지로 옵션시장에도 투기거래가 존재합니다. 옵션의 거래비용은 옵션매입자의 경우 옵션프리미엄에 한정되기 때문에 옵션투자 시에는 적은 투자 비용으로 레버리지가 매우 높은 투자 손익이 발생할 수 있습니다. 옵션 권리행사 시기에 따라 유럽식과 미...

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파생상품: 선물(Future)

선물(Future) 파생상품이란 미래의 특정 시점 또는 조건이 충족되면 행사 할 수 있는 권리를 사고 파는 상품이라하고 그 가지는 기초자산의 가지변동으로부터 파생되기 때문에 "파생상품"이란 이름으로 불립니다. 파생상품은 여러 형태로 존재합니다. 주식, 채권, 외화 등의 금융상품과 금, 은 등의 원자재 등을 기초자산으로 하는 선물 또는 옵션의 형태로 많이 거래됩니다. 거래소에서 거래되는 장내 파생상품(선물, 옵션)와 거래소 밖에서 거래되는 장외파생상품(선도, 스왑 등)로 구분합니다. 파생상품의 원래의 목적은 미래의 위험을 줄이는 헤지(hedge)이지만 기초자산의 미래 가격변동을 예상하고 레버리지를 이용해 투자적 목적으로도 많이 활용됩니다. 선물계약 선물(Future): 기초자산을 미래의 일정 시점에 미리 정한 가격으로 사거나 팔아야 하는 계약, 거래소에서 표준화된 상품을 거래 선도(Forwards): 거래소가 없고 상품이나 거래 방식이 표준화되지 않은 당사자 간의 계약 대표적인 선물 거래소 시카고 상업거래소(CME, Chicago Mercantile Exchange): 버터, 육류 등 농축산물 매매를 위한 시장으로 1871년 설립. 1972년 세계 최초로 금융 선물 상품을 상장, 1992년 세계최초로 24시간 전자거래 플랫품 글로벡스(Globex)를 도입 선물 또는 선물 계약은 선물 매도자와 선물 매입자가 미래의 특정시점에 선물 거래의 대상을 현재 시점에서 약정한 가격으로 미래에 매입 또는 매도 하기로 체결하는 방식을 말합니다. 예를 들어 딸기의 생산자(농부)와 이를 이용한 케이크 생산자(제빵업자)는 미래의 딸기 가격을 알 수 없습니다. 미래의 가격을 알 수 있다면 수입을 확정하고 이에 대한 합리적인 지출을 계획할 수 있을 것입니다. 이처럼 선물계약을 불확실한 기초자산의 미래 가격을 확실한 것으로 고정하고자 하는 매도, 매수자의 욕구가 직접적인 동기입니다. 선물거래의 가장 기본...

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