불확실성의 논리(logic)

불확실성의 logic

전통적인 논리에는 세 가지 중요한 연산자가 있습니다. NOT, AND, OR입니다. 예를 들어, 다음 문장을 생각해 보세요. 비가 내리고 AND 내가 밖으로 나간다면 우산이 필요할 것입니다. 이 문장에는 AND라는 논리 연산자가 하나만 있습니다. 이 연산자 덕분에 비가 내리고 AND 내가 밖으로 나간다는 것이 사실이라면 우산이 필요할 것입니다.

그러나 이러한 유형의 논리적 추론은 사실에 절대적인 참 또는 거짓 값이 있을 때만 잘 작동합니다. 이 장에서는 세 가지 논리 연산자를 확장하여 확률을 처리하는 방법을 설명하여 기존 논리에서 사실에 대해 추론하는 것과 같은 방식으로 불확실한 정보에 대해 추론할 수 있습니다.

AND로 결합한 확률

동전1개와 주사위 1개를 시행할 경우 모든 경우는 다음과 같습니다.

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats, special
import itertools
from sympy import *
from empiricaldist import Pmf, Cdf
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set_style("darkgrid")

A=[0, 1]
B=range(1, 7)
case=list(itertools.product(A, B))
case

[(0, 1),
 (0, 2),
 (0, 3),
 (0, 4),
 (0, 5),
 (0, 6),
 (1, 1),
 (1, 2),
 (1, 3),
 (1, 4),
 (1, 5),
 (1, 6)]

위의 모든 경우에서 동전에서 앞면이나오고 주사위에서 6이 나오는 두 경우는 1번입니다. 그러므로 이 사건의 결합확률은 다음과 같이 계산됩니다.

p=Rational(1, len(case)); p

$\frac{1}{12}$

이 두 독립사건의 경우 곱법칙을 적용할 수 있습니다.

$$\tag{1} P(A, B)=P(A)\timesP(B)$$

p1=Rational(1,2)*Rational(1, 6); p1

$\frac{1}{12}$

예) 늦을 확률 계산

지역 교통 기관에서 기차가 늦는 경우가 15%, 버스가 늦는 경우가 20%라는 데이터를 계시한다고 가정해 보겠습니다. 버스와 기차가 모두 늦는 경우에만 늦을 것이므로 곱 규칙을 사용하여 이 문제를 해결할 수 있습니다.

P(Late)=P(Late_train)×P(Late_bus)

p=0.15*0.2;p

0.3

버스나 기차가 늦을 가능성은 상당히 높지만, 둘 다 늦을 확률은 0.03에 불과해 상당히 낮습니다. 둘 다 늦을 확률은 3%라고 할 수도 있습니다. 이 계산을 하면 늦는 것에 대해 조금 덜 스트레스를 받을 수 있습니다.

OR로 결합한 확률

한 사건 또는 다른 사건이 발생할 확률은 사건이 상호 배타적이거나 상호 배타적이지 않을 수 있기 때문에 약간 더 복잡합니다. 한 사건이 발생하면 다른 가능한 사건이 발생할 수 없는 경우 사건이 상호 배타적입니다.

상호 배타적 사건에 대한 OR 계산

OR을 사용하여 두 사건을 결합하는 과정은 논리적으로 직관적입니다. "동전 던지기에서 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 얼마입니까?"라고 묻는다면 "1"이라고 말할 것입니다. 왜냐하면 우리는 다음을 알고 있기 때문입니다.

$$P(H)=\frac{1}[2}, P(F)=\frac{1}[2}$$

직관적으로, 우리는 이러한 사건의 확률을 함께 더할 수도 있습니다. 우리는 앞면과 뒷면이 유일한 가능한 결과이고 모든 가능한 결과의 확률은 1이어야 하기 때문에 이것이 작동한다는 것을 알고 있습니다.

이것으로부터 우리는 사건이 상호 배타적이라면 각 가능한 사건의 모든 확률을 더하여 두 사건 중 하나가 발생할 확률을 구하고 한 사건 또는 다른 사건의 확률을 계산할 수 있음을 알 수 있습니다.

이 합 규칙은 상호 배타적 결과의 조합에만 적용됩니다. 확률적 용어로 상호 배타적은 다음을 의미합니다.

P(A) AND P(B) = 0

확률과 OR을 결합하는 것을 실제로 이해하려면 사건이 상호 배타적이지 않은 경우를 살펴봐야 합니다.

비상호 배타적 이벤트에 대한 합 규칙 사용

$$\tag{2} P(A)\; \text{OR}\; P(B) = P(A)+P(B)-P(A, B)$$

동전과 주사위를 시행하는 경우 앞면 또는 6이 나오는 확률은 다음과 같다.

\begin{align}P(H)\; \text{OR}\; P(6) &= P(H)+P(6)-P(H, 6)\\&=\frac[1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}\\&=\frac{7}{12} \end{align}

연습문제

다음 질문에 답하여 확률에 적용되는 논리 규칙을 이해했는지 확인하세요. 답은 https://nostarch.com/learnbayes/에서 찾을 수 있습니다.

연습문제 3.1 20면체 주사위에서 20이 세 번 연속으로 나올 확률은 얼마입니까?

Rational(1, 20)**3

$\frac{1}{8000}$

연습문제 3.2 내일 비올 확률이 10%라고 날씨 보고에 나와 있는데, 외출할 때 절반은 우산을 잊어버립니다. 내일 우산 없이 비를 맞을 확률은 얼마입니까?

P(rain)×P(no Umbrella) = 0.1 × 0.5 = 0.05

연습문제 3.3 날달걀은 살모넬라균이 있을 확률이 1/20,000입니다. 날달걀 두 개를 먹었을 때, 살모넬라균이 있는 날달걀을 먹었을 확률은 얼마입니까?

p=Rational(1, 20000)
P=p+p-(p*p)
P

$\frac{39999}{400000000}$

연습문제 3.4 동전을 두 번 던져서 앞면이 두 번 나올 확률 또는 6면체 주사위를 세 번 던져서 6이 세 번 나올 확률은 얼마입니까?

p_c=Rational(1,2)
p_d=Rational(1, 6)
P=p_c**2+p_d**3-(p_c**2*p_d**3)
P

$\frac{73}{288}$