블랙 숄츠 모델(Black-Scholes model)

주식이 수익률이 정규분포를 따른다고 가정

현 주가가 100, 한달 후 행사가격이 110인 콜 옵션인 경우 콜옵션의 가치는(만기의 주식가격 - 행사가격, 0 이하일 경우 권리 포기) 10입니다. 정규분포를 가정하므로 110이 될 확률을 계산할 수 있고 그 가격에서 기대값을 계산할 수 있습니다. 연속변수이므로 지점 확률을 계산할 수 없지만 가격간의 간격이 5원이라면 110~115사이에 존재할 확률은 계산할 수 있습니다.

다음은 평균이 100이고 표준편차가 10인 정규분포를 가정합니다.

import numpy as np 
import pandas as pd 
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.family'] ='NanumGothic'
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] =False

d=np.sort(stats.norm.rvs(loc=100, scale=10, size=1000, random_state=1))
p=stats.norm.pdf(d, loc=100, scale=10)
d2idx=np.where(d>=110)[0]
p2=stats.norm.pdf(d[d2idx], loc=100, scale=10)
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.plot(d, p)
plt.fill_between(d[d2idx], p2, color="g", alpha=0.6)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("prob.")
plt.show()

위 그래프의 녹색에 대한 기대값은 다음과 같습니다. 행사가격 110에 대한 기대값은 다음과 같습니다.

np.sum((d[d2idx]-100)*p2)

30.895426539137873

10*(stats.norm.cdf(115, 100, 10)-stats.norm.cdf(105, 100, 10))

2.417303374571288

오리지널 블랙 숄츠 모델은 다음과 같은 가정들이 필요하다. 그러나 몇몇은 조금 변형시켜서 적용이 가능합니다.

• 자산(asset)에 대한 가정
  • 무위험자산: 변화 없이 일정한 수익을 주는 채권이 존재한다. '무위험 수익률'이라고 부르며 보통 미국 국채(T-Bill)의 수익률을 사용합니다.
  • 랜덤워크(random walk): 주식의 수익률은 정규분포 (브라운 운동), 가격은 로그 정규분포를 따릅니다. 왜 수익률은 정규분포고 가격은 로그 정규분포냐 하면, 가격에 로그를 붙여서 수익률을 구할 수 있기 때문입니다. 로그 수익률이라는 것은 전 날 종가와 오늘 종가의 로그의 차이를 말합니다.

    • \begin{align}r_t&=\ln(P_t)-\ln(P_{t-1})\\&=\ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)\\&r_t:\; \text{로그수익률}\\&P_t:\;\text{t날의 종가} \end{align}

      (식 1)

• 시장(market)에 대한 가정
  • 동일한 자산은 같은 시장 가격을 가지며 차이가 발생한다면 차익거래가 생겨서 다시 가격이 같아집니다.
  • 무위험 이자율로 원하는 만큼의 금액을 빌리거나 빌려줄 수 있습니다.
  • 공매도를 포함하여, 원하는 만큼의 주식을 사거나 팔 수 있습니다.
  • 거래할때 거래 비용이 거의 없습니다.

  옵션 가격은 주가에 기반하므로 주가가 1원 오르면 콜옵션도 일정 비율만큼 오르며 이 비율을 델타(δ)라고 합니다. 주식을 δ만큼 사고 콜옵션을 팔면 움직임이 정확히 상쇄되어서 변동이 없다. 변동이 없으면 위험이 없다는 말이니 이 조합의 수익률은 무위험 채권과 같다. 여기에 주식 가격이 로그 정규분포를 따른다는 가정하고 주가가 로그 정규분포를 따르면 주식의 수익률은 정규분포를 따르게 된다. 이제 수식을 정리하면 (이 과정에서 이토의 보조정리[4]같은 수학 테크닉이 몇개 들어간다) 주가와 옵션, 무위험 채권에 대한 미분방정식(식 2)을 얻는다.

  \begin{align} rV&=rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{\partial V}{\partial T}+\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\\ &V:\;\text{옵션의 가격}\\&S:\;\text{주가}\\&r:\;\text{무위험 이자율(risk-free interest rate)}\end{align}

  (식 2)

  식 2로부터 유도되는 식 3(블랙-숄츠 모델)으로 콜 옵션과 풋옵션 가격을 결정할 수 있습니다.

  \begin{align} c&=S\Phi(d_1)-K\exp(-rt)\Phi(d_2)\\ p&=K\exp(-rt)\Phi(d_2)-S\Phi(d_1)\\ d_1&=\frac{\ln(\frac{S}{K})+\left(r+\frac{\sigma}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\\d_2&=\frac{\ln(\frac{S}{K})+\left(r-\frac{\sigma}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\\& c, p:\; \text{콜옵션 가격, 풋옵션가격}\\&S:\;\text{0시점에서의 기초자산가격}\\& \Phi(x):\;\text{표준정규분포의 누적분포함수}\\& k:\;\text{행사가격}\\&K:\;\text{행사가격}\\&r:\;\text{무위험 이자율}\\&T:\;\text{옵션만기까지 남은 기간}\\&\sigma:\;\text{주가의 변동성}\end{align}

  (식 3)

  블랙-숄츠 모델로부터 파생되는 수많은 옵션가격 지표들이 있습니다.

  • 델타(δ) : 기초자산 가격의 변동에 따른 옵션가치변동
  • 쎄다(θ) : 시간에 따른 옵션가치 변동
  • 감마(γ) : 기초자산 가격의 변동에 따른 δ의 변동
  • 베가(ν): 기초자산가격 변동성의 변화에 따른 옵션 가치변동
  • 로(ρ): 금리의 변동에 따른 옵션가치변동