불확실성 측정
확률이란 무엇인가?
확률은 우리가 세상에 대한 것을 얼마나 강하게 믿는지를 측정하는 것입니다. 우리는 확률을 논리의 확장으로 간주할 수 있습니다. 확률은 우리가 논리를 절대적 믿음(참과 거짓)으로 작업할 수 있을 뿐만 아니라 불확실한 값(참과 거짓 사이의 값)으로 작업할 수 있도록 해줍니다.
논리의 중요한 부분은 부정입니다. 우리가 "참이 아니다"라고 말할 때 우리는 거짓을 의미합니다. 마찬가지로, "거짓이 아니다"라고 말하는 것은 참을 의미합니다. 우리는 확률이 같은 방식으로 작동하기를 원하므로 X의 확률과 X의 확률의 부정이 합산되어 1이 되도록 합니다(즉, 값은 X이거나 X가 아닙니다).
| P(X) + ~P(X) = 1 | (1) |
이벤트 결과를 세어 확률 계산
확률을 계산하는 가장 일반적인 방법은 이벤트 결과를 세는 것입니다. 중요한 결과 집합이 두 가지 있습니다.
- 이벤트의 모든 가능한 결과. 동전 던지기의 경우 이는 "앞면" 또는 "뒷면"입니다.
- 관심 있는 결과의 개수입니다. 앞면이 나오면 이긴다는 것을 의미한다고 결정했다면, 관심 있는 결과는 앞면이 포함된 결과입니다.
확률 이론에서 우리는Ω(대문자 그리스 문자 오메가)를 사용하여 모든 이벤트 집합을 나타냅니다.
| Ω = {H(앞면), T(뒷면)} | (2) |
두개의 동전을 던질 때 최소한 1번의 앞면을 얻을 확률?
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats, special
import itertools
from sympy import *
from empiricaldist import Pmf, Cdf
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set_style("darkgrid")
Omega=itertools.product(("H", "T"), repeat=2)
Omega=list(Omega);Omega
[('H', 'H'), ('H', 'T'), ('T', 'H'), ('T', 'T')]
target=Omega[:3]; target
[('H', 'H'), ('H', 'T'), ('T', 'H')]
p=len(target)/len(Omega);p
0.75
위 시행은 앞면을 성공으로 하는 이항분포이다. 그러므로 동전을 두번 시행하여 성공 횟수가 0인 결과를 총확률(1)에서 제외하는 것으로 계산할 수 있습니다. scipy.stats.pmf(성공, 총시행, 확률)을 사용한다.
1-stats.binom.pmf(0, 2, 1/2)
0.75
믿음의 비율로 확률 계산
사건을 세는 것은 물리적 대상에만 유용합니다. 더 추상적인 문제에 대해 추론하는 방법은? – 베팅은 우리가 얼마나 강하게 믿음을 가지고 있는지 표현할 수 있는 실용적인 방법입니다.
확률을 결정하기 위한 확률 사용
Odds는 믿음을 사건의 결과에 대해 틀렸을 때 지불할 의향이 있는 금액과 옳았을 때 받고 싶은 금액의 비율로 표현하는 일반적인 방법입니다. 예를 들어, 말이 경주에서 이길 확률이 12 대 1이라고 가정해 보겠습니다.
오즈(Odds)는 확률과 간단한 관계가 있습니다. 결과의 odds는 결과가 발생할 확률과 결과가 발생하지 않을 확률의 비율입니다. 수학적으로 말하면, p는 결과의 확률이고 1- p는 결과가 발생하지 않을 확률입니다.
$$\tag{3} \text{odds}=\frac{p}{1-p}$$
식 3을 사용하여 odds로부터 p를 계산할 수 있다.
$$\tag{4} p=\frac{\text{odds}}{1+\text{odds}}$$
동전 던지기에서 믿음 측정하기
동전 던지기를 사건으로 생각하는 대신, 질문을 "다음 동전 던지기가 앞면이 나올 것이라고 얼마나 강하게 믿습니까?"로 다시 표현할 수 있습니다. 이제 우리는 P(앞면)에 대해 이야기하는 것이 아니라 동전 던지기에 대한 가설 또는 믿음, P(H)에 대해 이야기하고 있습니다. 이전과 마찬가지로, 우리는 우리의 믿음을 비교할 대체 가설이 필요합니다.
마무리하기
우리는 두 가지 다른 유형의 확률을 탐구했습니다. 사건의 확률과 믿음의 확률입니다. 우리는 확률을 우리가 신경 쓰는 결과와 가능한 모든 결과의 수의 비율로 정의했습니다. 이것은 확률에 대한 가장 일반적인 정의이지만, 대부분의 실용적이고 일상적인 확률 문제는 명확한 결과가 없고 직관적으로 이산적인 숫자가 할당되지 않기 때문에 믿음에 적용하기 어렵습니다. 그런 다음 믿음의 확률을 계산하려면 한 가설을 다른 가설보다 몇 배 더 믿는지 확인해야 합니다. 이를 테스트하는 좋은 방법 중 하나는 믿음에 얼마나 많은 돈을 걸고 싶어하는지입니다.
연습
다음 질문에 답하여 우리의 신념에 0과 1 사이의 실수 값을 할당하는 방법을 이해했는지 확인하세요.
예제) 6면체 주사위 두 개를 굴려 7보다 큰 값이 나올 확률은 얼마입니까?
d=itertools.product(range(1,7), repeat=2) data=list(d); data[:3]
[(1, 1), (1, 2), (1, 3)]
target=[i for i in data if(i[0]+i[1]>7)] target[:3]
[(2, 6), (3, 5), (3, 6)]
p=len(target)/len(data);p
0.4166666666666667
예제) 양키스가 레드삭스와 경기를 합니다. 당신은 열렬한 삭스 팬이고 친구가 경기에서 이길 것이라고 내기를 합니다. 삭스가 지면 친구에게 30달러를 지불하고, 삭스가 이기면 친구는 당신에게 5달러만 지불하면 됩니다. 레드삭스가 이길 것이라는 믿음에 직관적으로 부여한 확률은 얼마입니까?
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