test

기본적으로 사용되는 패키지들과 함수들

import numpy as np
import numpy.linalg as la
from scipy import linalg
from sympy import * 

A

np.all(객체)

• 객체의 모든 원소가 True 일 경우만 True를 반환
• 0이 아닌 수는 True

np.allclose(A, B, rtol = 1e−05, atol = 1e−08)

• 객체 A, B의 모든 원소가 같으면 True, 그렇지 않으면 False를 반환
• 각 원소값은 상대 임계값(rtol)과 절대 임계값(atol)을 기준
• rtol과 atol의 기본값은 각각 소수점 이하 5자리 그리고 8자리까지 비교

np.any(객체)

• 객체 A, B의 모든 원소가 같으면 True, 그렇지 않으면 False를 반환
• 각 원소값은 상대 임계값(rtol)과 절대 임계값(atol)을 기준
• rtol과 atol의 기본값은 각각 소수점 이하 5자리 그리고 8자리까지 비교

np.arccos(x)

• cos 값의 역수를 반환 (y=cos(x) → x=arccos(y))

np.array(x)

• 객체 x를 배열객체로 반환
• 객체 x는 파이썬의 기본 자료형인 리스트형
  • 대괄호를 이용하여 값들을 그룹화합니다. Example) [1,2,3], ["a", "b"]등

np.around(M, decimal=0)

• 배열 객체 각 원소의 반올림을 실행
• decimal은 반올림 자릿수를 지정하는 것으로서 0이 기본값

C

식.coeff(변수, 차수)

• 식(sympy 객체)으로부터 지정한 변수와 차수에 대응하는 계수를 반환.

collect(eq, variable)

• 지정한 변수의 차수를 기준으로 식을 정렬하는 sympy 함수

x1.column_join(x2)

• 객체 x1과 x2를 열의 방향으로 결합

M.columnspace()

• 행렬 M의 열공간을 반환

np.concatenate((a,b,c,…), axis=0)

• 여러 배열 객체들을 결합한 새로운 객체를 생성
• axis: 결합에 기준이 되는 축 지정
  • 0:열방향(기본값)
  • 1:행방향

np.cos(rad)

• radian 값에 대응하는 cosin 값을 반환

np.cross(x,y)

• 벡터 x, y사이에 외적 (cross product)를 반환
• 벡터 x, y는 행벡터이어야 합니다.

D

pd.DataFrame(객체, index, columns)

• 객체는 리스트, 사전 형태 등
• index: 행이름
• columns: 열이름
• 함수에서 직접적으로 행과 열이름을 전달할 수 있지만 DataFrame 객체를 생성한 후 다음과 같이 행과 열 이름을 지정할 수 있습니다.
  • DataFrame객체.index: 행이름 지정
  • DataFrame객체.columns: 열이름 지정
• .values 속성을 사용하여 객체의 값만을 추출하여 numpy 배열형을 변환

np.deg2rad(θ)

• θ값을 radian값으로 변환(=np.radians(θ))

la.det(M)

• 행렬 M의 행렬식을 계산

np.diag(values) or np.diag(M, k=0)

• 인수가 values: 지정한 값들이 대각원소가 되는 대각행렬을 생성.
• 인수가 M, k
  • 지정된 k에 따른 행렬의 대각 원소를 반환
  • k는 행렬에서 반환할 대각의 위치를 지정
    • k = 0 : 주(main) 대각선(기본값)
    • k > 0 인 정수 : 주 대각선을 기준으로 위쪽으로 이동
    • k < 0 인 정수 : 주 대각선을 기준으로 아래쪽으로 이동

np.dot(a, b)

• 배열 객체 a, b의 행렬곱을 반환
• 연산자 "@"와 같음: a@b

E

la.eig(M)

• 행렬 M의 고유값과 고유벡터들을 튜플로 반환(본문의 Example 참조).
• sympy 패키지의 .eigvals(), .eigvects() 메소드는 각각 고유값과 고유벡터를 반환(본문의 Example 참조).

Eq(a, b)

• a = b의 식을 생성하는 sympy 함수
• 이 함수는 '=='와 같은 결과를 반환합니다. 즉, 두 식이 동일함을 의미 합니다.
• solve()함수에 적용은 x−4−3 = 0와 같이 동차 방정식의 형태이어야 합니다. 그러나 Eq() 함수를 사용하여 x−4 = 3와 같은 형태를 적용할 수 있습니다.

np.equal(a, b)

• 배열 객체 a, b의 원소 단위로 같음을 판단

expand(x)

• sympy 객체(Equation) x를 전개하는 sympy 함수

np.eye(# of row or column)

• 배열 객체 a, b의 원소 단위로 같음을 판단

eye(n)

• n차원의 항등행렬을 생성

H

np.hstack((a, b, c,…))

• 객체들을 행방향으로 결합 = np.c_[a, b, c,…]

I

numpy.linalg.inv(M)

• M의 역행렬을 생성
• scipy.linalg 모듈의 inv() 함수와 동일합니다.

scipy.linalg.linalg.lu(M)

• 행렬 M의 LU 분해를 실시

M

Matrix(x)

• 객체 x를 행렬로 변환
• numpy 배열 객체의 경우 sympy의 행렬 객체로 변환

la.matrix_power(M, k)

• 행렬 M 에 대해 Mk 를 계산

la.matrix_rank(M)

• 행렬 M의 급수 (rank)를 반환

N

np.ndim()

• np 객체인 arr의 차원 반환

la.norm(v, ord=None, axis=None)

• 벡터 v의 norm을 계산
• 인수 ord는 norm을 계산하는 방식을 지정하는 것으로 None=Frobenius Norm을 적용(참조)
• axis: 벡터는 1개의 축을 가지지만 행렬 이상의 객체에서 여러 개의 축들로 표현됩니다. 그러므로 axis를 지정하여 배열 내에 포함되는 각 벡터의 놈을 계산
  • 행렬의 경우 행은 1, 열 0
  • axis 값에서 행이 제일 큰 값, 다음이 열의 순으로 정해짐
  • Example) 3차원 배열의 경우 축은 3개, axis = 2: 행, 1: 열, 0: 나머지 축으로 지정

M.nullspace(x)

• 객체 M의 영공간(null space)을 반환

P

np.place(x, cond, vals)

• 객체 x에서 조건(cond)에 해당하는 부분을 지정한 값(vals)로 변환

print()

• 코드의 결과를 모니터에 출력합니다. 이 함수에 의한 출력은 결과의 내용만을 나타냅니다. 다음의 이 함수를 사용하지 않은 경우와 비교해보면 명확해집니다.

  • a=np.array([3, 1])
    a

  • array([3, 1])

  • print(a)

  • [3 1]

• sympy 객체는 다음과 같이 latex 방식으로 됩니다.

  • M=Matrix([[3, 1], [2, 4]])
    M

  • 
  • 이 객체는 print()함수에 의해 다음과 같이 표현됩니다.

  • print(M)

  • Matrix([[3, 1], [2, 4]])

  • sympy 객체를 numpy.array 객체로 변환하여 print()함수에 의한 결과는 다음과 같습니다.

  • print(np.array(M))

  • [[3 1]
     [2 4]]

Q

la.qr(M)

• 행렬 M의 QR 분해하여 Q, R을 튜플로 반환

numpy.prod(x, axis=None)

• x: 배열객체
• axis: 축을 지정하는 것으로 .shape 속성 결과의 인덱스와 같음
  • 0:행, 1: 열 등
  • 기본값 None은 모든 요소의 곱을 반환
• x의 지정한 축(axis)에 따라 요소들의 곱을 반환

R

np.rad2deg(rad)

• radian값을 θ로 변환

np.radians(θ)

• θ를 radian값으로 변환

np.random.randint(start, end, size=())

• a. [시작, 끝-1]의 범위에서 지정한 size의 랜덤수(정수)를 생성
• size: 결과의 크기와 형태 지정
  • 정수 하나이면 결과를 리스트로 반환.
  • "(행의 수, 열의 수)"와 같이 튜플형식으로 지정할 경우 배열로 반환

Rational(x) 또는 Rational(분자, 분모)

• 부동소수를 분수로 전환하여 반환하는 sympy 함수
• 두개의 정수 즉, 분자와 분모를 전달하여 분수를 표현
• 전달하는 인수를 문자형으로 전환하여 전달
  • Rational('5/3') , Rational(5, 3)
  • (5/3, 5/3)

arr.reshape(# of row, # of column)

• 원소의 수 = 행의 수 × 열의 수가 성립한다면 배열(벡터 또는 행렬)의 형태를 지정한 행과 열에 따라 재배열
• 행 또는 열에 특정한 인수가 -1인 경우 다른 인수를 기준으로 차원이 변경됩니다.

round(값, 자릿수)

• 실수인 값을 지정한 자릿수까지 반올림하는 함수
• numpy 객체인 배열의 경우 배열.round(자릿수)와 같이 메소드로 사용할 수 있음

x1.row_join(x2)

• 객체 x1과 x2를 행의 방향으로 결합

x.rref(x)

• sympy객체 x의 기약행사다리꼴을 생성.
• 이 함수의 결과는 다음과 같이 터플 형식으로 반환됩니다. (기약행사다리꼴 행렬, column space 열의 번호)

S

numpy.random.seed(seed=None)

• 랜덤수(난수)를 고정
• 이 함수의 seed 값(정수)정수를 입력한 후 생성한 랜덤수는 그 seed 값에서 고정됨

arr.shape(# of row, # of column)

• 객체 arr의 행과 열의 수를 튜플 형식으로 반환

np.sin(rad)

• radian 값에 대응하는 sin 값을 반환

numpy.linalg.solve()

• solve(a, b)
  • a·x=b의 방정식에서 미지수 x의 값을 계산
• solve(expression or matrix)
  solve(A, b),
  • 동차방정식 또는 matrix = 0의 식에 대한 미지수의 해를 계산
  • solve(a, b)의 형태로 위의 la.solve()와 같음
• 두 함수의 인수는 동차방정식(Equation = 0)의 형태
• 연립방정식과 같이 여러 개의 식들이 입력될 경우 괄호로 묶어 줍니다.
  • solve((eq1, eq2, ...), (var1, var2,...)
• 행렬 시스템(선형시스템 참조)의 해를 계산할 수 있습니다.
  • A는 계수행렬, x는 변수벡터, b는 A와 x의 행렬곱에의한 결과벡터인 시스템: Solve(A, b)
  • 
• sympy.solve() 함수와 같음

np.sum(객체, axis=None)

• 객체의 합을 계산합니다.
• axis에 의해 합을 계산할 축(방향)을 결정.
  • 기본값은 none으로 객체의 내의 모든 값의 합을 계산
  • 행렬의 경우 열 :0, 행 :1
  • 이 순서는 행×열과 같이 객체의 형태를 나타내는 방식에서 오른쪽 부터 0, 1, 2 등을 지정하여 사용.

la.svd(M)

• 행렬 M의 특이값분해를 실시 → M = UΣV^T
• 정규직교행렬(U), 특이값, 고유행렬의 전치행렬(V^T)을 반환
  • ∑: 특이값을 대각 원소로 하는 M과 동일한 차원을 갖는 대각 행렬, 특이값 이외의 부분은 모두 0입니다.

symbols(“symbol(s)”)

• 기호를 미지수로 지정
• 수학의 방정식과 같이 기호의 해를 계산할 수 있게 합니다.

T

M.T

• 행렬 M을 전치시키는 속성
• 함수 transpose (M)와 같은 결과를 반환

np.transpose(arr, axes=None)

• 객체 a를 전치시키는 함수
• 속성 T의 경우 2차원인 행렬에 대해 행과 열을 교환하는데 반해 이 함수는 3 차원 이상의 객체(텐서)의 전치에서 교환할 축을 지정할 수 있습니다.
  • Example를 들어 3차원의 형태가 2 × 3 × 4인 경우를 4 × 2 × 3으로 교환하고자 할 때 다음과 같이 적용합니다.
  • 원 객체의 차원의 인덱스 0, 1, 2는 각각 2, 3, 4의 크기를 가집니다. 이의 전환은 0 → 1, 1 → 2, 2 → 0으로 변환되어야 합니다. 그러므로 명령은 다음과 같습니다.
  • np.transpose(arr, (1, 2, 0))

np.trace(M)

• 정방행렬 M의 대각원소 들의 합을 계산

np.tril(M, k=0)

• 행렬 M에서 k에 따른 대각 원소들을 기준으로 위쪽의 원소들을 모두 0으로 변환하여 하삼각행렬 생성
• 인수 k는 np.diag() 참조

np.triu(M, k=0)

• 행렬 M에서 k에 따른 대각 원소들을 기준으로 아래쪽의 원소들을 모두 0으로 변환하여 상삼각행렬 생성
• 인수 k는 np.diag()) 참조

V

np.vstack((a, b, c,…))

• 객체들을 열방향으로 결합 (= np.r_[a, b, c, …])